契約を結んだ後、会社の都合で入居が一週間早まりそうだ。契約開始日を一週間早めてもらいたいが、大家さんは無理だという。なぜですか？

基本的には「契約日を後ろにずらして欲しい」というケースと同じです。
大家さんに入居を早めることに応じる義務はありません。
ただ、今回のように期日を早める場合は、大家さんとしては早くから家賃が入ってくるのでうれしいことなのですが、応じることが難しい場合がよくあります。
具体的には、前の入居者が退居してから日が浅くまだ室内の原状回復工事を行っているとか、その工事が状況に応じて長引いしまっているようなケースです。このような場合はどう頑張っても引渡しを行えないので大家さんとしても契約開始日を早めるわけにはいかないのです。